Теория групп, симметрия

1. Введение в теорию групп.
   Свойства симметрии физических систем. Примеры: постулат СТО об эквивалентности инерциальных систем отсчёта; симметричные молекулы и кристаллы; атом водорода (инвариантность относительно вращений в 4-мерном пространстве). Определение группы. Следствия, вытекающие из определения группы. Примеры групп. Условия инвариантности уравнений движения.
2. Абстрактные группы.
   Сдвиг по группе. Подгруппа. Порядок элемента. Сопряженные совокупности. Сопряженные элементы и класс. Инвариантная подгруппа (нормальный делитель). Фактор-группа. Изоморфизм и гомоморфизм групп.
3. Представления конечных групп.
   Определение представления группы. Пространство представления. Базис представления. Примеры представлений. Представление группы симметрии уравнения Шредингера на собственных функциях. Эквивалентное унитарное представление. Приводимые и неприводимые представления группы. Первая и вторая леммы Шура. Соотношение ортогональности для матричных элементов неприводимых представлений. Характеры представлений. Регулярное представление. Число неприводимых представлений.
4. Композиция представлений и прямое произведение групп.
   Прямое произведение матриц. Определение композиции представлений. Разложение композиции представлений на неприводимые представления (разложение Клебша — Гордана). Прямое произведение групп. Классы прямого произведения групп. Неприводимые представления прямого произведения групп.
5. Симметрия квантовомеханической системы относительно группы преобразований.
   Условие инвариантности уравнения Шредингера относительно преобразований группы. Симметрия системы частиц, совершающих малые колебания. Теорема Вигнера. Следствия теоремы Вигнера для задачи о симметрии квантовомеханической системы и для задачи о малых колебаниях.
6. Точечные группы.
   Элементы точечных групп. Классификация точечных групп по Вейлю. Неприводимые представления точечных групп. Классификация нормальных колебаний и электронных состояний молекулы.
7. Разложение приводимого представления на неприводимые.
   Построение базисов неприводимых представлений. Определение симметризованных смещений ядер молекулы (на примере молекулы гексафторида урана). Метод линейной комбинации атомных орбит (на примере F-центра в щелочногалоидном кристалле).
8. Пространственные группы.
   Подгруппа трансляций. Кристаллическая структура. Кристаллические решетки. Сингонии. Общий элемент пространственной группы. Неприводимые представления группы трансляций. Звезда вектора k. Группа вектора k. Неприводимые представления пространственной группы. Неприводимые представления группы вектора k.
9. Классификация колебательных и электронных состояний кристалла.
   Классификация нормальных колебаний кристалла. Классификация электронных состояний кристалла. Одноэлектронное приближение.
10. Непрерывные группы.
    Непрерывные группы линейных преобразований. Общие свойства групп Ли. Инфинитезимальные преобразования и законы сохранения. Группа двумерных вращений. Группа трехмерных вращений.
11. Неприводимые представления группы трехмерных вращений.
    Инфинитезимальные матрицы представлений группы трехмерных вращений. Неприводимые представления группы трехмерных вращений. Двузначные представления. Разложение произвольного представления группы трехмерных вращений на неприводимые. Неприводимые представления ортогональной группы.
12. Некоторые приложения теории представлений группы вращений к задачам квантовой механики.
    Частица в центральном поле. Момент импульса. Правило сложения моментов импульса. Дополнительное вырождение в сферически симметричном поле. Спин. Теорема Крамерса. Теорема Вигнера — Эккарта.
13. Группа перестановок.
    Квантовомеханическое описание системы тождественных частиц. Группа перестановок n символов. Неприводимые представления группы Sn.
14. Свойства симметрии многоэлектронных волновых функций.
    Постановка задачи. Свойства симметрии спиновой волновой функции. Связь между симметрией спиновой и координатной волновых функций. Свойства симметрии координатной волновой функции.
15. Классификация состояний многоэлектронного атома.
    Конфигурация. Термы. Соответствие между конфигурацией и термами. Спин-орбитальное взаимодействие.
16. Применение теории групп в задачах, связанных с теорией возмущений.
    Расщепление уровней энергии под влиянием возбуждения. Правильные функции нулевого приближения. Атом в однородном магнитном поле. Атом в кристаллическом поле.
17. Правила отбора.
    Общая формулировка правил отбора. Правила отбора для поглощения и излучения света. Правила отбора для комбинационного рассеяния света молекулами. Матричные элементы, построенные на функциях одного базиса. Теорема Яна — Теллера.

Основная

• М.И. Петрашень, Е.Д. Трифонов, Применение теории групп в квантовой механике, УРСС (2002).
• Б.Л. Ван дер Варден, Метод теории групп в квантовой механике, Ижевск, 1999.
• Г. Вейль, Теория групп и квантовая механика, Москва, Наука, 1986.
• Е. Вигнер, Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомных спектров, Москва, ИЛ, 1961.
• В. Хейне, Теория групп в квантовой механике, Москва, ИЛ, 1963.

Дополнительная

• Р. Нокс, А. Голд, Симметрия в твердом теле, Москва, Наука, 1970.
• Е. Вигнер, Этюды о симметрии, УРСС (2015).
• Г.Л. Бир, Г.Е. Пикус, Симметрия и деформационные эффекты в полупроводниках, Москва, Наука, 1972.
• Г.Я. Любарский, Теория групп и ее применение в физике, Москва, Гостехиздат, 1957.